1. PSNR (Peak Signal-to-Noise Ratio) 峰值信噪比

给定一个大小为 \(m×n\) 的干净图像 \(I\) 和噪声图像 \(K\)，均方误差 \((MSE)\) 定义为：

\[MSE = \frac{1}{mn}\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1}[I(i, j)-K(i,j)]^2\]

然后 \(PSNR (dB)\) 就定义为：

\[PSNR = 10 \cdot log_{10}(\frac{MAX_I^2}{MSE})\]

其中 \(MAX_I^2\) 为图片可能的最大像素值。如果每个像素都由 8 位二进制来表示，那么就为 255。通常，如果像素值由 \(B\) 位二进制来表示，那么 \(MAX_I = 2^B-1\)。

一般地，针对 uint8 数据，最大像素值为 255,；针对浮点型数据，最大像素值为 1。

上面是针对灰度图像的计算方法，如果是彩色图像，通常有三种方法来计算。

• 分别计算 RGB 三个通道的 PSNR，然后取平均值。
• 计算 RGB 三通道的 MSE ，然后再除以 3 。
• 将图片转化为 YCbCr 格式，然后只计算 Y 分量也就是亮度分量的 PSNR。

其中，第二和第三种方法比较常见。

# im1 和 im2 都为灰度图像，uint8 类型# method 1diff = im1 - im2mse = np.mean(np.square(diff))psnr = 10 * np.log10(255 * 255 / mse)# method 2psnr = skimage.measure.compare_psnr(im1, im2, 255)

针对超光谱图像，我们需要针对不同波段分别计算 PSNR，然后取平均值，这个指标称为 MPSNR。

2. SSIM (Structural SIMilarity) 结构相似性

\(SSIM\) 公式基于样本 \(x\) 和 \(y\) 之间的三个比较衡量：亮度 (luminance)、对比度 (contrast) 和结构 (structure)。

\[l(x,y) = \frac{2\mu_x \mu_y + c_1}{\mu_x^2+ \mu_y^2 + c_1}\]

\[c(x,y) = \frac{2\sigma_x \sigma_y + c_2}{\sigma_x^2+ \sigma_y^2 + c_2}\]

\[s(x,y) = \frac{\sigma_{xy} + c_3}{\sigma_x \sigma_y + c_3}\]

一般取 \(c_3 = c_2 / 2\)。

• \(\mu_x\) 为 \(x\) 的均值
• \(\mu_y\) 为 \(y\) 的均值
• \(\sigma_x^2\) 为 \(x\) 的方差
• \(\sigma_y^2\) 为 \(y\) 的方差
• \(\sigma_{xy}\) 为 \(x\) 和 \(y\) 的协方差
• \(c_1 = (k_1L)^2, c_2 = (k_2L)^2\) 为两个常数，避免除零
• \(L\) 为像素值的范围，\(2^B-1\)
• \(k_1=0.01, k_2=0.03\) 为默认值

那么

\[SSIM(x, y) = [l(x,y)^{\alpha} \cdot c(x,y)^{\beta} \cdot s(x,y)^{\gamma}]\]

将 \(\alpha,\beta,\gamma\) 设为 1，可以得到

\[SSIM(x, y) = \frac{(2\mu_x \mu_y + c_1)(2\sigma_{xy}+c_2)}{(\mu_x^2+ \mu_y^2 + c_1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2+c_2)}\]

每次计算的时候都从图片上取一个 \(N×N\) 的窗口，然后不断滑动窗口进行计算，最后取平均值作为全局的 SSIM。

# im1 和 im2 都为灰度图像，uint8 类型ssim = skimage.measure.compare_ssim(im1, im2, data_range=255)

针对超光谱图像，我们需要针对不同波段分别计算 SSIM，然后取平均值，这个指标称为 MSSIM。

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